Las Matemáticas en la resolución de problemas y toma de decisiones

I. Introducción  

Las matemáticas desde tiempos inmemoriales han modelado la manera en la que tomamos nuestras decisiones  tanto para cuestiones cualitativas como cuantitativas.

Hoy día la toma decisiones y el tipo de matemáticas que se usan  en la resolución de problemas dentro de  las empresas, está a mi punto de vista basada en la estructura piramidal o jerárquica de las organizaciones cualesquiera que esta sea.  Teniendo en cuenta que las organizaciones están definidas en una estructura piramidal y dividida por tres niveles de punta a base está seccionada en el nivel estratégico seguido por el táctico y como base el operativo.

Los roles y responsabilidades los niveles de la pirámide no son excluyentes si no al contrario son complementarios, tanto que en ocasiones  personal  directivo en la parte alta de la pirámide puede interferir cuando sea necesario en el un  nivel inferior, para así garantizar que se alcancen los objetivos estratégicos de la organización.

Véase en la imagen adjunta los niveles empresariales de la pirámide  y su relación con las matemáticas y toma de decisiones

II. El Dilema

Las empresas siempre en su dilema de cómo hacer más con menos o de cómo ganar más con la mejor combinación de recursos, esfuerzo y tecnología;  aplican las matemáticas  como herramienta y ventaja competitiva,  las usan tanto para modelar las ecuaciones que conduzcan a la firma a tener el mejor balance y asignación de los agentes económicos o productivos,  como para potencializar la eficacia para predecir tendencias o para la introducción de nuevos productos.

En nuestros días en los que la información y datos crudos son de fácil acceso;  las empresas necesitan de la capacidad matemática y tecnológica para poderlas explotarla. En otras palabras la capacidad y talento de las empresas de convertir esa información cruda en datos de calidad para la toma de decisiones  en es uno de los más preciados tesoros de las empresas. Tanto las grandes como medianas firmas están apostando al desarrollo de algoritmos y aplicación del talento humano y recurso  tecnológico para modelar con base matemática una visión correcta de las oportunidades y puntos de inversión óptimos. Imagínenos  que tuviéramos las  preferencias del consumidor, nuestra capacidad operativa, la disponibilidad de recursos para satisfacer la demanda y un análisis de costo y punto de equilibrio de inversión – costo- retorno así como la capacidad de compra de nuestra población y leyes o reglas que rigen al mercado en una mesa de evaluación. Creo que en ese escenario sería más fácil tomar una decisión acertada  ya que solo faltaría la aplicación de la modelación o interpretación matemática de los datos mencionados para tener la o las opciones de inversión o decisión.

También  es importante el decir que los fundamentos matemáticos aun están vigentes y  son usados en todos los niveles jerárquicos de las empresas.  Desde los análisis de compatibilidad, teoría de juegos , estadística, elección optima, teoría de juegos, análisis de comportamiento , hasta los tipo económico como los de valor presente, análisis de riesgo, manejo de inventario y demanda , valoración por agregación, punto equilibrio,  análisis de costos , análisis de proyectos, etc.

III. Las Herramientas

a. Las Graficas

No hay que olvidar que  la introducción de los gráficos fue  y se ha consolidado como una herramienta muy importante en el desarrollo y la toma de decisiones. Los gráficos nos ayudan a dar una visión o un curso de acción al primer vistazo ya que consolidan las relaciones matemáticas y correlaciones estadísticas de los factores involucrados. Con los gráficos siempre hay que ser cautelosos ya que dependiendo de la ecuación o de la característica mostrada algunas veces podrían ser engañosos. Los gráficos mas usados son los de tendencia,  los de pareto (o también llamados 80-20), histogramas de frecuencia, puntos de equilibrio, etc.

Ejemplos:

Grafica de Pareto   : Estos indican que el 80 por ciento de los defectos se relacionan con solo el 20 de sus posibles causas. (Ejemplo solamente)

Gráfica de tendencias , esta se usa para la predicción por ejemplo de ventas de gastos , etc.

Graficas de control: estas esta regidas por limites superiores e inferiores definidos.

Graficas de punto de equilibrio: En punto de equilibrio de mercado por ejemplo   todo lo que se produce por la industria de consume  o se vende en el mercado.

b. La toma de decisiones vs nivel organizacional 

Usa el fundamento matemático para definir  cursos de acción y tener objetivos reales y que se fundamenten en hechos y datos y que puedan ser comprobados con un mínimo de riesgo y un máximo de ganancia.

1) Usualmente el nivel Estratégico debe de poner los objetivos globales de metas a alcanzar  como nivel global ejemplo: Niveles de ventas y gastos. Niveles de penetración de mercado.  Inversiones y adquisiciones, niveles de crecimiento por unidad de negocio etc.  Este nivel no solo establece las metas también establece los criterios de éxito.

2) Una vez definido el punto superior los niveles tácticos deben de definir una estructura de indicadores de proceso que soporten los objetivos globales  KPI’s por sus siglas en ingles (Key Proccess Indicator). Estos indicadores se deben de medir este nivel de manera semanal, quincenal o mensual dependiendo del nivel de iteración requerida y del  nivel de reacción exigido en caso de un cambio en los factores involucrados para cada indicador.  Aquí se generan los gráficos que serán  usados para tomas decisiones para modificar cursos para mejorar o para corregir el efecto de una variable estos a su vez serán compartidos con los niveles superiores para la toma de decisiones estratégica

Una estructura común de PKI relacionan.

Departamento, Numero de KPI, valor u objetivo (Ejemplo: veracidad de inventarios de un 98 %, tiempos muertos de menos de 99.5 %, etc.), Grafica con tendencia mensual, grafica pareto para identificar los mayores contribuidores de modos de falla, grafica por familias de productos o clientes, frecuencia de generación del reporte y que departamentos adicionales contribuyen a llegar al objetivo del KPI.

3) Para el nivel operativo se requieren  herramientas de uso frecuente y simple ya que estos niveles  requieren de una iteración elevada usualmente de varias veces por minuto y están  sujetas a decisiones pre-especificadas dependiendo de los criterios definidos.

Uso intenso de tecnología es requerido en todos los niveles.

c.  Ejemplos de aplicación

1. Algebra matricial

Como explicamos anterior mente  las matemáticas aplicadas a las empresas y economía  pueden representase matemáticamente tanto su comportamiento como sus relaciones (esto se refiere a los costos, precios, inflación, etc. También es muy poco común que nos encontremos con un solo dato que represente todo el conjunto de relaciones y factores a consideras, Aquí es donde entra la algebra matricial (el trabajar en bloques de números de manera sistémica)

Las operaciones que se puede hacen con matrices son:

Suma, Producto por un escalar, Multiplicación de martirices, Trasposición. También hay diferentes tipos de matrices como las cuadráticas (mismo número de filas y columnas), Nulas (los coeficientes son 0), matrices de fila o columna (solo una fila o una columna) matrices diagonales etc. Otros temas que se revisan en el algebra matricial: Determinantes, rango de matrices,  calculo de matrices inversa, matriz adjunta,  etc.

El algebra matricial nos puede ayudar a resolver problemas como por ejemplo:

Tresagentes de ventas a comisión, V1, V2 y V3, venden tres productos P1,P2, P3. Las matrices E, F, M  A reflejan los ingresos del primer cuatrimestredel año 2014 expresados en Pesos.

Partiendo de esta información se pueden calcular los ingresos totales del cuatrimestre,Calcula el incremento de ingresos entre el mes de enero y el de febrero, si los vendedores reciben un 10% de los ingresos por ventas en concepto de comisión.

¿Cuanto gano cada uno en este cuatrimestre?

2. Grupos de matemáticas aplicadas a empresas y economía

Análisis de compatibilidad

Sistemas de ecuaciones lineales: Aquí también se busca el tener una solución magnitud o valor que satisfaga simultáneamente las ecuaciones esto no siempre se da por lo que se esta metodología lo considera por eso las ecuaciones lineales se divides así:

Sistemas de ecuaciones lineales

• Compatibles
  • n n Determinados  : Solución única
  • Indeterminados : Infinitas soluciones
• In compatibles: No tienen solución

Aquí agregare un ejemplo de  sistemas incompatibles

Por ejemplo:

1. Se  compran en dos días diferentes. Día 1) 3 kilos de manzanas y 1 de plántanos con un costo total de 3 pesos , Día 2 ) 6 kilos de manzanas y 3 kilos de plátanos con un costo total de 15 pesos

Cuál es el costo del kilo de plátano  y cual es de manzanas que satisfaga los gastos de los dos días de manera simultánea:

Sea   &a mp;n bsp; a = precio de kilo de manzanas

     &nb sp;  ;    b = precio del kilo de plátanos

Asi  formamos nuestras ecuaciones

 2 a + b = 3        y      6 a +3b = 15

Por método de suma y resta  obtenemos que  0= 6  lo cuales inconsistente o es algo que no puede ser así que se determina que la ecuaciones incompatible o inconsistente o que no tiene solución. Si lo graficáramos las rectas nunca se cruzan así que son paralelas. 

Es lo contrario cuando hablamos de de sistemas compatibles determinados este nos dice que las ecuaciones son se satisfacen simultáneamente en un punto de intersección o sea hay una solución única

Las ecuaciones de sistemas compatibles indeterminados tiene infinitas soluciones estos si se graficaran nos daríamos cuenta que las dos pasan por los mismo puntos

Análisis de elección óptima

• Programación línea

• Maximiza/Minimiza funciones.
• Limitantes/Restricciones
• Toma de decisiones optimas.
• Variables obtenidas:

• Conjunto factible- Cualquier Opción
• Solución factible- Opciones factibles.
• Solución óptima

• Programació n diferencial : Se usa el teorema de LaGrange para restricciones de igualdad, y por el

Teorema de Kuhn-Tucker para las restricciones de desigualdad

• Programación multi objetivo

• Óptimo de Pareto para la programación multiobjetivo
• Permite descartar fácilmente opciones, dejando la decisión señalada en la frontera de pareto
• Búsqueda de soluciones a problemas en los que nos atenemos a varios objetivos y no a un sólo objetivo

Análisis de comportamiento

• Cálculo Diferencial.
  • Elasticidades.
  n n
  • Incremento monetario.
• Ecuaciones en Diferencias.
  • PIB
  • Consumo
  • Ahorro
• Cálculo Integral.

• Capitalización continúa.
• Rentas continuas

    & ;nbs p;      

&am p;nb sp;Análisis de valoración por agregación

• Herramientas empleadas

• Series Numéricas
• Estadística.
• Amortizaciones

• Integrales Definidas

• Volumen de distribución
• Valor marginal

3. Ejemplos de otras aplicaciones de negocio de nivel táctico

No solo estas matemáticas o cálculos se usan también hay otros métodos en las cuales procesos del nivel táctico usa como son las siguientes:

Recursos Humanos  

Usa las matemáticas para determinar cálculos duros como el ausentismo, y el turno ver (nivel de satisfacción número de empleados que dejan su trabajo entre el número de empleados). También para determinan la eficacia de campañas de atracción de talento así como efectividad de entrenamiento.

Materiales:

Se usan las matemáticas para controlas los costos de inventarios (se dice que el costo de inventario de al menos el 25 por ciento de la inversión una empresa.  

Costos de ordenar (logística y seguridad,  etc.)

Se usan para evitar gastos de escases o de falta de existencia este es un punto muy importante ya que las empresas internacionales  de hoy día utilizan un ordenamiento de materia prima con una base de proveedores globales así que el costo de escases y falta de existencia es algo un factor determinante en la productividad de las empresas.

También se usan para el cálculo de obsolescencias para evitar costos extras por sobre inventario

Mantenimiento:

Determin ar la efectividad de mantenimiento preventivo total en relación con las fallas presentadas en un periodo de tiempo así como la  adecuada programación de ciclos de mantenimiento.

Se usan también para determinar la efectividad del equipo en su totalidad  OEE por sus siglas en ingles ( Overall Equipment effectiveness)  véase el siguiente recuadro

• Tiempo de produccion de planta (PPT)
  • Total de tiempo tabajado (ejemplo :5 días de trabajo  x 22h x 60min) + turnos extra

• Q1=  PTT  – Tiempo muerto o  disponibilidad perdida
  • Tiempo muerto de producción por línea o por célula de producción
• Q3 = Tiempo operación  –  Perdida por velocidad o bajo performance degradado s
  • Pérdida de velocidad o rate de producción  

Se saca del número  de piezas que se producen al final de línea de produccion  tanto (buenas y malas).

• Q2 = Numero de piezas que se producen buenas   –  Menos las que no pasaron calidad

OEE = Q1xQ2XQ3

Métodos de mejora continúa:

En la resolución de problemas como Six sigma también incluye una buena carga de matemáticas tanto para definir la ecuación en la cual se trabajara para definir cual variable afecta o tiene mas impacto en el resultado como en el cálculo.  Este método busca la normalización de los datos.

       ; ;        & amp; nbsp; 

4. Herramientas de tecnología de información que soportan en el proceso de la tomas de decisiones

Las tecnologías de la información se han consolidado como una herramienta indispensable en la toma de decisiones ya que estas nos ayudan en la recolección, ordenamiento, clasificación, análisis y presentación de la información. La aplicación de tecnologías de información nos hoy día la ventaja competitiva hoy  elegir cursos de acción en menor tiempo ya sea para tomar decisiones confirmar, corregir, agregar recursos etc.   Estas Tecnologías de información se pueden clasificar o dividir en las siguientes categorías.

1. Básicas n
   1. Excel, Correo electrónico, sistemas independientes de hojas de calculo
2. Base de datos
   1. Estas representan la manera de almacenar una colección ordenada de datos (Oracle, Microsoft SQL, Sybase, etc.)
3. EDI. (Electronic Data Interface). Estas representan el medio por el cual sistemas independientes se pueden compartir informaciones algunas son nativas de los mismos sistemas o pueden ser desarrolladas por profesionales.
4. Sistemas integrales de gestión y colección de información “ERP’s)  (Estos representan una manera metódica de  gestión de procesos y su información relacionada y su interacción con la empresa en base a reglas de negocio, economía, comercio y legales) Ejemplos: SAP, Microsoft Dinamycs, Oracle Suite, Peoplesoft, etc.
5. Inteligencia de negocio (BI o cubos) estos sistemas se encargan de extraer la información de los sistemas integrales de negocios y nos modelan la información haciéndola más digerible para la toma de decisiones. Estos sistemas  pueden integrar más de un sistema integral a través de   las EDI’s. Así mismos los cubos son capaces de modelar gráficos y tablas dinámicas las cuales son muy importantes para el nivel estratégico y táctico ya que ofrecen una la posibilidad de analizar información desde un puto de vista general al particular. Ejemplos de estas aplicaciones son ( Business Objects, Crystal reports, Cognos, Hyperion, etc).  

I V. Proceso de toma de decisiones

Mapeo del proceso de toma de decisiones:
 

• Definici& oacu te;n del objetivo – Nivel superior y definición de KPI’s
• Diagnostico del problema- Nivel tácticos:  matemáticas aplicadas para definir la ecuación
• Identificación de vías alternativas de acción. Uso de herramientas matemáticas para solución y búsqueda de cursos de acción
• Evaluación de cada curso de acción. Análisis costo beneficio, riesgo- ganancia, etc. (Puede ser táctico como estratégico )
• Se toma la decisión o  curso de acción.  Elección e implantación de la decisión. Nivel táctico y estratégico
• Ejecutar decisión. Nivel operativo
• Seguimiento y evaluación de la decisión. Táctico
• Evaluación del impacto en el alcance del objetivo. Estratégico

V.  Conclusión

En mi punto de vista las matemáticas son usadas desde las bases operativas de las empresas hasta la elite directiva en todos los mercados y economías o tipos de negocios. El uso de las herramientas tecnológicas, implementación de procesos definidos  y aplicación de métodos matemáticos en la toma decisiones no garantiza el éxito al 100% de las empresas,  pero si reduce drásticamente los riesgos de las tomas de decisiones y aumenta la visibilidad de  las empresas del comportamiento de  sus procesos críticos; lo que conlleva a la toma de decisiones oportuna para alcanzar los objetivos estratégicos en la mayoría de los casos. La toma de decisiones es aun que se puede decir que es un  método no un arte,  al final del día los humanos somos los últimos responsables de la toma de las decisiones y de sus resultados.

Albert Einstein: “La formulación del problema es frecuentemente más importante que su solución  “.