Importancia De La Aritmetica Modular O Congruencias-Teoria De Numeros

El matemático Gauss, quien es considerado como uno de los más grandes de la historia ha dicho"la matemática es la reina de las ciencias y la teoría de números es la reina de las matemáticas."

Varios descubrimientos importantes de la teoría de números elemental como el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Euler, el teorema chino del resto ,y muchas situaciones de la vida real se basan en la aritmética simple de los restos.

Esta aritmética de los residuos que se llama aritmética modular o congruencias.

Mi objetivo inicialmente  es explicar "la aritmética modular (congruencias)" en una forma tan sencilla,  que un hombre común lo pueda puede entender.

L idea es explicarlos con ejemplos de la vida cotidiana.

Para los estudiantes, que estudian la teoría de números elemental, en su bajo grado o cursos de postgrado, este artículo servirá como una simple introducción.

La aritmética modular (congruencias) de teoría de números elemental:

Sabemos, desde que nos enseñaron a dividir que:

 Dividendo = Cociente *Divisor +Resto.

Llamemos al dividendo=n ,al divisor=q ,al cociente=c y al resto =r,entonces:

n=cq+r  o n=r + multiplos de q

o si le quitas algunos multiplos de q, que da n=r

Que es al punto donde quiero llegar ,el hecho de quitar algunos multilos de un numero para obtener uno nuevo,¿tendra algun significado practico?veamos a ver.

Ejemplo 1:

Analiemos lo siguiente:

Supongamos que hoy es Martes. ¿Qué día va a ser dentro  de 300 días a partir de ahora?

¿Cómo resolver el problema anterior?

Nos llevamos múltiplos de 7 a partir de 300. Estamos interesados ​​en lo que queda después de quitar el mutiplos de 7. Sabemos que 300 /7 da el cociente de 42, y el resto es 6 (ya que 300 = 42 x 7 + 6) No estamos interesados ​​en la forma en que los múltiplos son quitados,no estamos interesados por el cociente sino por el residuo .

Obtenemos 6 cuando algunos múltiplos (42) de 7 son separados de 300.

Entonces, la pregunta, "¿Qué día es dentro 300 días a partir de ahora?" ahora, se convierte en: "¿Qué día será 6 días a partir de ahora?" Porque hoy es Martes, 6 días a partir de ahora será el Sabado.

El punto es, cuando, estamos interesados ​​en quitar los múltiplos de 7,

300 y 6  significa lo mismo para nosotros.

Matemáticamente, escribimos esto como 300 ≡ 6 (mod 7) y se lee como 300 es congruente con 6 módulo 7.

La ecuación 300 ≡ 6 (mod 7) se llama congruencia.

Aquí se llama Módulo 7 y el proceso se denomina aritmética modular.

Ejemplo 2:

Supongamos que son las 7 a.m ¿Qué hora será dentro de 77 horas a partir de ahora? Tenemos que quitar los múltiplos de 24 desde 70. 77 ÷ 24 da un resto de 5. o es decir 77 ≡ 5 (mod 24).

Por lo tanto, el tiempo de 77  horas de ahora es el mismo que el tiempo de 5 horas a partir de ahora. 7 de la mañana+ 5 horas = 12pm en punto

. En articulos posteriores profundizaremos un poco mas sobre este hermoso reino de la teoria de numeros.

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