Matemáticas Aplicadas en la Toma de Decisiones

El primer pensamiento que se nos viene a la mente cuando hablamos de matemáticas son las clases de secundaria y preparatoria, pero la aplicación de las matemáticas va más allá que una materia escolar. Las matemáticas son aplicadas en muchas áreas profesionales y están incrustadas en las empresas, constantemente haciendo parte de la toma de decisiones. En la realidad de todas las empresas, sean ellas con o sin un sistema integrado de informaciones, las matemáticas soportan sus procesos de planeación, adquisiciones, recursos humanos, finanzas, ventas, producción y todas las demás áreas.

La toma de decisiones debe ser racionales, considerar todos los riesgos involucrados en el tema que se está analizando. Los resultados deben de ser lo más exacto posibles para no generar pasivos o perdidas irreversibles. Y es ahí que entran las matemáticas, apoyando a los administradores en la comprensión de los problemas, definiendo criterios adecuados para generar informaciones relevantes a través de reportes confiables e indicadores consistentes.

Algunos ejemplos de aplicación de las matemáticas en las empresas pueden ser vistos en cálculos de oferta, costos, precio de venta, promedio de ingresos donde se aplican las funciones matemáticas y sus derivadas. Es cierto que con las tecnologías disponibles en el mercado, estos cálculos son procesados en segundos, pero entender lo que está por detrás de estos números es el punto clave para tomar la decisión más adecuada.

Es importante mencionar algunos conceptos básicos de la aplicación de las matemáticas para la toma de decisiones. Se puede encontrar más detalles de estos conceptos en cualquier literatura académica o de negocios. Son ellos:

Función Costos, Función Ingresos y Función Lucro

1. Función Costos C(x) – es representada por una serie de factores, como el costo fijo (agua, luz, seguros, rentas de vehículos, etc.) y el costo variable determinados por los niveles de producción.
2. Función Ingreso R(x) – que también corresponde a la cantidad vendida de un producto por el precio de este producto.
3. Función Lucro L(x) – determinado por los ingresos menos el costo de un determinado producto, para generar el lucro.

Podemos ejemplificar la aplicación de estas funciones:

L(x) = R(x) – C(x)

Ejemplo 1 - Una empresa puede producir zapatos a un costo de 20,00 U (unidades) el par. Estimamos que si cada par es vendido por “x” U, la empresa venderá por mes 80 – a (0 ≤ a ≤ 80) pares de zapatos. Considerando esta premisa, el lucro mensual del fabricante es una función del precio de venta. ¿Cuál debe de ser el precio de venta considerando un lucro mensual máximo?

Costo: valor de producción de cada par de zapatos por el número de zapatos fabricados.

C(x) = 20*(80 – x)

Ingresos: número de zapatos vendidos en el mes, multiplicado por el valor de venta “x”.

R(x) = (80 – x) * x

Lucro: es la diferencia entre el Ingreso R(x) y el Costo C(x)

L(x) = (80 – x) * x – 20*(80 – x)

L(x) = 80x – x² – 1600 + 20x

L(x) = – x² +100x – 1600

El Lucro es representado por una función de segundo grado decreciente, o sea, el gráfico tiene una concavidad para arriba o valor máximo. Para determinar el precio de venta del zapato, para obtener el Lucro máximo, hay que calcular el valor del vértice “x” de la parábola, representado por Xv = – (b/2a).

L(x) = – x² +100x – 1600

a = – 1

b = 100

c = – 1600

Xv= – b / 2a

Xv= – 100 / (2*(-1)

Xv= 100 / 2

Xv = 50

Para la obtención del Lucro máximo, el precio de venta para cada par de zapatos debe de ser 50 Unidades.

Función Demanda y Oferta

1. Función Demanda – es la relación de la cantidad de productos demandados (x) y el precio (p).

La función D = 10 – 2P, donde P es el precio por unidad de un determinado producto y D es la demanda de mercado que corresponde a este producto. Para tener una demanda, las condiciones básicas deben ser:

• Precio mayor que cero (P > 0)

• Demanda o procura por el producto debe ser mayor que cero (D > 0)

Si consideramos D > 0:

10 – 2P > 0

10 > 2P

10 / 2 > P

5 > P o P < 5,00

El precio del producto varía entre cero y 5,00.

0 < P < 5,00

Si consideramos P > 0:

D = 10 – 2P

D + 2P = 10

2P = 10 – D

P = (10 – D) / 2

(10 – D) / 2 > 0

10 – D > 0 * 2

10 – D > 0

10> D o D < 10

En este análisis, la demanda por el producto, en este escenario, varía entre 0 y 10 unidades.

0 < P < 10 unidades

En la función donde D = 10 – 2P, se puede decir que cuando el precio del producto incrementa 1 unidad, la demanda del producto disminuye en 2 unidades:

Ejemplo:

P = 1,00, tenemos: D = 10 – 2*(1) = 10 – 2 = 8 unidades

P = R$ 2,00, tenemos: D = 10 – 2*(2) = 10 – 4 = 6 unidades

P = R$ 3,00, tenemos: D = 10 – 2*(3) = 10 – 6 = 4 unidades

2. Función de Oferta – corresponde a relación del volumen de un determinado producto ofertado en el mercado.

Consideramos la función S = - 8 +2P, donde el P es el precio del producto y S corresponde a la Oferta. Donde P ≤ 10,00. Para una oferta de mercado (S > 0).

Si S > 0, el precio solamente puede ser mayor que 4,00.

- 8 + 2P > 0

2P > 8

P > 8 / 2

P > 4,00

• Para P = 4,00 S = – 8 + 2*(4) = – 8 + 8 = 0 unidades ofrecidas para venta

• Para P = 5,00 S = – 8 + 2*(5) = – 8 + 10 =2 unidades ofrecidas para venta

• Para P = 6,00 S = – 8 + *(6) = – 8 + 12 = 4 unidades ofrecidas para venta

Punto de Equilibrio

El Punto de Equilibrio es un importante indicador de riesgo para las empresas, cuando se compara la capacidad de producción con la demanda máxima existente en el mercado. Para determinar el Punto de equilibrio hay que considerar tres importantes funciones ya mencionadas en este archivo: Costo, Ingresos y Lucro.

Ejemplo: una empresa vende un producto por 1,20 la unidad. Para producir este producto el Costo Fijo es de 560,00 más el Costo Variable de 0,80 por unidad producida. Determinar el Punto de Equilibrio de este producto para su producción o venta.

Para determinar el Punto de Equilibrio de este producto, hay que determinar la cantidad de unidades que se va a vender para que los ingresos sean iguales a los gastos, generando un lucro cero. Para esto, hay que definir la función del movimiento financiero del producto:

Costo de Producción: fC(x) = 560 + 0,80x

Ingresos: fR(x) = 1,20x

La equivalencia entre los ingresos y el costo surge en el momento en que los dos valores con iguales:

fR(x) = fC(x)

1,20x = 560 + 0,80x

1,20x – 0,80x = 560

0,40x = 560

x = 1400

El Punto de Equilibrio de esta empresa está definido en la producción y venta de 1400 unidades. Por arriba de este valor, se genera Lucro y por debajo de este, pérdidas.

Como pudimos observar en los ejemplos mencionados arriba, las Matemáticas son una importante herramienta para las empresas y su toma de decisiones.

Pero hay un ramo de las matemáticas que son muy importantes para las empresas. Es la matemática financiera. Su aplicación puede traer una mejor rentabilidad y ayudar a maximizar el resultado del negocio a través de un estudio del comportamiento del dinero en un determinado espacio de tiempo. En el actual escenario de economía globalizada, ningún proyecto sigue sin que todos los aspectos financieros sean considerados.

Decidir si una inversión es un buen negocio va a depender de un análisis consistente de los beneficios económicos, de las limitaciones, del crecimiento del negocio en un determinado período de tiempo, del capital necesario para la inversión y, principalmente, el tiempo que se llevará para obtener el retorno de esta inversión.

En la administración de una empresa es necesario que el profesional de finanzas tenga la habilidad de planear, organizar y controlar el negocio y sus variables. En la toma de decisiones la falta de esta habilidad puede representar el éxito o las puertas cerradas del negocio en los dos primeros años de su existencia. El dominio del conocimiento no debe ser solamente de fórmulas o conceptos, para esto están las literaturas y los sistemas de información. La interpretación de los datos es lo que definirá el nivel de éxito de la aplicación de las matemáticas en la toma de decisiones en las empresas.